Antes de profundizar en las técnicas, es importante que los estudiantes puedan reconocer qué técnica se está utilizando en una demostración dada. Para ello:

• Prueba Directa (Direct Proof): Se utiliza cuando el argumento sigue directamente de las hipótesis a la conclusión.
• Prueba por Contradicción (Proof by Contradiction): Se utiliza cuando se asume lo contrario de lo que se quiere demostrar y se llega a una contradicción.
• Inducción Matemática (Mathematical Induction): Se utiliza cuando se quiere probar que una propiedad es verdadera para todos los números naturales o un conjunto infinito de elementos.

Dado el siguiente argumento : “Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional. Entonces podemos escribir $\sqrt{2} = \frac{p}{q'}$, donde $p$ y $q$ son enteros coprimos. Luego, derivamos que tanto $p$ como $q$ son pares, lo cual contradice la suposición de que son coprimos.”

Identificación : Esto es una prueba por contradicción , ya que se asume lo contrario de lo que se quiere demostrar ($\sqrt{2}$ es racional) y se llega a una contradicción.

La estructura de una prueba directa es simple y sigue un razonamiento lógico paso a paso:

• Comienza con las hipótesis dadas.
• Aplica reglas lógicas y definiciones para llegar a la conclusión.

Ejemplo : Probar que si $n$ es un número entero par, entonces $n2$ es también par.

• Hipótesis: $n$ es par, entonces $n=2k$ para algún entero $k$.
• Conclusión: $n^2=(2k)2=4k^2=2(2k^2)$, que es par.

La estructura de una prueba por contradicción es:

• Supón lo contrario de lo que quieres demostrar.
• Deriva una contradicción lógica.
• Concluye que la suposición inicial es falsa.

Ejemplo :
Probar que $\sqrt{2}$ es irracional.

1. Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional, entonces $\sqrt{2} = \frac{p}{q'}$, donde p y q son enteros coprimos.
2. Elevando al cuadrado: $\sqrt{2} = \frac{p^2}{q^{2'}}$, lo que implica $p^2=2q^2$. Esto significa que $p^2$ es par, y por lo tanto p es par ($p=2m$).
3. Sustituyendo $p=2m$: $(2m)^2=2q^2$, lo que implica $q^2=2m^2$. Esto significa que $q^2$ es par, y por lo tanto $q$ es par.
4. Contradicción: $p$ y $q$ son ambos pares, pero se supuso que eran coprimos.
5. Conclusión: $\sqrt{2}$ es irracional.

La inducción matemática tiene dos pasos principales:

• Base de Inducción: Verifica que la propiedad es verdadera para el primer caso (generalmente $n=0$ o $n=1$).
• Paso Inductivo: Supón que la propiedad es verdadera para $n=k$ (hipótesis inductiva) y demuestra que es verdadera para $n=k+1$.

Ejemplo : Probar que $1+2+3+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$ para todo $n≥1$.

1. Base de Inducción ($n=1$):
   • $1=\frac{1(1+1)}{2}=1$. Verdadero.
2. Paso Inductivo:
   • Supongamos que la fórmula es verdadera para $n=k$: $1+2+⋯+k=\frac{k(k+1)}{2}$.
   • Demostremos para $n=k+1$:
   $$1+2+⋯+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$$ Simplificando: $$\frac{k(k+1)}{2} + (k + 1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
   • Conclusión: La fórmula es verdadera para $n=k+1$.